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断言:曲面 S 在 R(u,v) 处的第二基本形式 是点 R(u+du,v+dv) 到 S 在 R(u,v) 的切平面的垂直距离 的 2 倍的正或负. 以下是这断言的证明尝试,判别那一步是对的.
A.
把 R(u+du,v+dv) 在 R(u,v) 处展开, 得
B.
R(u+du,v+dv) 到 S 在 R(u,v) 的切平面的垂直距离(带符号,看 R(u+du,v+dv) 是否在 n 指向的一侧)是 , n 是 R(u,v) 处的单位法向量. (要看得请,请画曲面 S,R(u+du,v+dv) , R(u,v) 的切平面的 图)
C.
留意 n 与 是垂直的. 所以若丢掉泰勒展开中的高阶项, 大概是 . 证毕.