(14分)设 F 1 、 F 2 分别为椭圆 C : =1( a > b >0)的左、右两个焦点. (1)若椭圆 C 上的点 A (1, )到 F 1 、 F 2 两点的距离之和等于4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F 1 K的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M 、 N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM 、 PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 位置无关的.试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明.